Ein ganz gewöhnlicher Tag?

Fun Fact: der 26.9. ist genau der 269. Tag eines normalen Jahres (Schaltjahre ausgenommen).

Da stellen sich natürlich sofort zwei Fragen:

Gibt es noch weitere Tage, die diese Eigenschaft haben?

(mit “diese Eigenschaft” meine ich, dass die Ziffern des Datums ohne zusätzliche Nullen – September wird als 9 und nicht als 09 abgekürzt – genau der Nummer des Tages im Jahr entsprechen)

Nein. Dies kann man durch Auflisten der Daten zeigen: 

NummerDatumDatumszahl
1. 1. Januar11
2. 2. Januar21
3. 3. Januar31
4. 4. Januar41
5. 5. Januar51
6. 6. Januar61
7. 7. Januar71
8. 8. Januar81
9. 9. Januar91
10. 10. Januar101


Spass, natürlich kann es auch schneller gezeigt werden: 
Die Datumszahl nimmt grundsätzlich jeden Tag um +10 zu, während sich die Nummer nur um +1 erhöht. Daher nimmt die Differenz Nummer – Datumszahl täglich um -9 ab. Folglich bleibt die Restklasse dieser Differenz modulo 9 konstant:

NummerDatumszahlDifferenzRestklasse modulo 9
1.11-10-10 = -2×9 + 8
2.21-19-19 = -3×9 + 8
3.31-28-28 = -4×9 + 8


Für jeden Tag im Januar ist die Restklasse der Differenz NummerDatumszahl gleich 8. Dies bedeutet, dass an keinem Tag im Januar die Nummer mit der Datumszahl übereinstimmen kann, da sonst an diesem Tag die Differenz zwischen den beiden 0 wäre und damit die Restklasse gleich 0 und nicht gleich 8 – Widerspruch. Folglich müssen nur Monate mit der Restklasse 0 weiter untersucht werden. Beim Übergang von einem Monat zum nächsten ändert sich die Restklasse, da sich die Datumszahl dann nicht einfach um +10 erhöht (von Januar auf Februar springt sie beispielsweise von 311 auf 12). Allgemein springt die Datumszahl von einem Monat mit d Tagen zum nächsten Monat um genau -(d-1)×10 + 1 (die Zehnerstelle springt von d auf 1 und die Einerstelle nimmt um 1 zu). Die Nummer verhält sich natürlich bei einem Monatsübergang nicht aussergewöhnlich, sie nimmt einfach um +1 zu. Folglich verändert sich die Differenz NummerDatumszahl um +(d-1)×10. Da wir nur an der Restklasse der Differenz interessiert sind, kann dies weiter zu (d-1)×10 ≡ (d-1)×1 ≡ d-1 ≡ (d modulo 9) – 1 vereinfacht werden. Von einem Monat zum nächsten verändert sich die Restklasse also um (d modulo 9) – 1, wobei d die Anzahl Tage des vergangenen Monats ist. Damit können wir nun einfach die Restklassen für die Monate Januar bis September bestimmen:

MonatRestklasse modulo 9Tage d(d modulo 9) – 1
Januar8314 – 1 = 3
Februar8 + 3 ≡ 2281 – 1 = 0
März2 + 0 ≡ 2314 – 1 = 3
April2 + 3 ≡ 5303 – 1 = 2
Mai5 + 2 ≡ 7314 – 1 = 3
Juni7 + 3 ≡ 1303 – 1 = 2
Juli1 + 2 ≡ 3314 – 1 = 3
August3 + 3 ≡ 6314 – 1 = 3
September6 + 3 ≡ 0303 – 1 = 2


Siehe da: die Restklasse für den September ist tatsächlich 0, wer hätte das gedacht? Es bleibt zu überprüfen, dass tatsächlich ein Tag im September unsere Eigenschaft erfüllt. Man kann sich durch Zusammenzählen der Tage davon überzeugen, dass dies für den 26.9. wirklich der Fall ist. Im September kann es dann keinen weiteren solchen Tag geben, da ja die Differenz NummerDatumszahl jeden Tag um -9 abnimmt (und deshalb nur einmal in einem Monat 0 sein kann).

Bleibt noch zu zeigen, dass es im Oktober, November und Dezember keine weiteren solche Tage gibt. Auf den ersten Blick scheint es so, als ob unser System mit den Restklassen von 9 nicht mehr funktioniert, da die Zahlen für diese Monate nun zweistellig sind (10, 11, 12) und deshalb die Datumszahl jeden Tag um +100 zunimmt. Glücklicherweise ist aber 100 ≡ 10 ≡ 1 modulo 9, deshalb funktioniert das System für diese Monate genau gleich: 

MonatRestklasse modulo 9Tage d(d modulo 9) – 1
Oktober0 + 2 = 2314 – 1 = 3
November2 + 3 = 5303 – 1 = 2
Dezember5 + 2 = 731


Es gibt also keine weiteren Monate mit der Restklasse 0. Der 26.9. ist folglich der einzige Tag, der obige Eigenschaft erfüllt.

Eine abschliessende Bemerkung: in Schaltjahren gibt es gar keinen Tag mit der Eigenschaft. Davon kann man sich relativ schnell mithilfe obiger Herleitung überzeugen. Alle Restklassen nach dem Februar sind in Schaltjahren um +1 grösser. Da es oben keinen Monat mit Restklasse 8 gibt (bis auf den Januar, der vor dem Februar kommt), gibt es in Schaltjahren keinen Monat mit der Restklasse 0 und damit auch keinen Tag mit der gesuchten Eigenschaft. 

Bleibt noch die zweite Frage zu beantworten:

Wer entdeckt solchen Unsinn?!

Ich. Per Zufall. Ich arbeite im Moment während dem Zivildienst mit Infrarotaufnahmen des Himmels – dazu vielleicht später mehr. Die Aufnahmen werden mit den Nummern der Tage abgespeichert (1-365) und nicht mit dem Datum (dd/mm/yyyy oder so). Deshalb musste ich die beiden Formate oft umrechnen und war dann erstaunt, als für den 26.9. 269 herauskam. Und kann man wirklich in Frieden weiterleben, ohne zu wissen, ob es der einzige solche Tag ist?

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