Was haben zwei beliebig lange Strecken stets gemeinsam? Ihre Länge, ist doch klar! Wer das nicht glaubt, soll sich einmal diesen Beweis anschauen:

Beweis

1. Man wähle zwei beliebig lange Strecken, die einen Punkt (hier der Punkt C) gemeinsam haben. Die anderen Endpunkte der Strecken seien die Punkte A und B. Im Folgenden soll bewiesen werden, dass die Strecke AC gleich lang wie die Strecke BC ist.

Beweis gleich lange Strecken 1

2. Man verbinde die Punkte A und B, so dass ein Dreieck ABC entsteht. Dann konstruiere man den Punkt O als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Winkels ACB mit der Mittelsenkrechten von AB. Die Winkel ACO und OCB (Winkelhalbierende), sowie die Strecken AMAB und MABB (Mittelsenkrechte) sind identisch.

Beweis gleich lange Strecken 2

3. Nun konstruiere man die Projektionen des Punktes O auf die Strecken AC und BC. Die entstandenen Punkte nenne man Y und X (siehe Skizze). Die Winkel YOC und COX sind gleich gross (180°-90°-α = 90°-α). Somit sind die Dreiecke CYO und XOC kongruent, da sie eine Seite (CO) und die daran anliegenden Winkel gemeinsam haben (dritter Kongruenzsatz).

Beweis gleich lange Strecken 3

4. Da die Dreiecke CYO und XOC kongruent sind, haben sie auch die Seitenlängen CY und CX, bzw. YO und XO gemeinsam. Wir haben also bewiesen, dass CY = CX gilt. Nun bleibt nur noch YA = XB zu zeigen. Dazu führe man die Strecken AO und OB ein.

Beweis gleich lange Strecken 4

5. Die Dreiecke AMABO und BMABO sind kongruent, da sie zwei Seiten (MABO = MABO und AMAB = MABB) und den eingeschlossenen Winkel (90°) gemeinsam haben (zweiter Kongruenzsatz). Somit sind AO und OB gleich lang. Die Dreiecke AOY und BOX sind ebenfalls kongruent, da sie zwei Seiten (YO = XO, AO = OB) und den Winkel gegenüber der grössten Seite (90°) gemeinsam haben (vierter Kongruenzsatz). Somit sind auch die Strecken YA und XB gleich lang. Wir haben also gezeigt, dass CY = CX und YA = XB. Somit gilt auch CY + YA = CX + XB, was das Gleiche wie CA = CB ist. Die beliebig langen Strecken CA und CB müssen also gleich lang sein!

Beweis gleich lange Strecken 5

Wer trotz dieses extrem stichhaltigen Beweises immer noch nicht überzeugt ist, soll sich das Ganze einmal selber (möglichst genau) aufzeichnen. Nicht, dass irgendetwas faul wäre…

Quellen

Beweis: Clemens Pohle, Schweizer Mathematik-Olympiade
Beitragsbild: thumbs.dreamstime.com
Wikipedia: Kongruenzsatz